icosahedron - 断片集

ちょっと自己嫌悪ぎみの昨今．
自己評価が下落すると何をするにも徒労感や焦燥感がつきまとい何ひとつとしてまともに手をつけることもなくて，そうすると今度は自分の姿が，下落した自己評価にふさわしいものになるのだなあ面白いなあなどとおもいながらいつも以上に無為に過ごしたこの週末．とはいえ何もせずに過ごすことができるわけでもなく何となくブログを書きながらブログなど書いている場合ではないのだけれどもと（略）．

実家に帰省すると子供の頃に読んでいた絵本のたぐいが整理されてあった．そのなかに正多面体をつくる参考に読んでいた本をみつけた（タイトルは失念）．子どもの頃はこの本に記載された展開図のとおりに画用紙を切り抜き，どうにか正12面体まではつくることができたものの正20面体はいわば高嶺の花だった．定規と分度器のみでは正多角形を正確に描くことは困難だった．
この週末，何もする気も起きぬまま焦燥感に駆られていた折り，おもいたって正20面体をつくった．正20面体の構造（各面は同じ大きさの正三角形からなる．それぞれの頂点に集まる面の個数はすべて5個）から，展開図はすぐに構成することができた．画用紙ではなく工作用紙を使用し，定規と分度器ではなくコンパスを用いて作図した．完成までものの1時間とかからなかった．少しさびしくなった（でも少しうれしかったので余った紙を使って正8面体と正4面体を作った）．

正多面体 regular polyhedron
凸多面体において，各面は辺数の等しい正多角形で，各頂点に集まる面の個数はすべて等しいとする。このとき前者の個数を p，後者の個数を qとすれば，(p，q)は(3，3)，(4，3)，(3，4)，(5，3)，(3，5)のいずれかに限られ，これらに対応する凸多面体はそれぞれ4，6，8，12，20個の面をもっている。これらを正四面体，正六面体(立方体)，正八面体，正十二面体，正二十面体と呼び，総称して正多面体と呼ぶ。正多面体では，各頂点に集まる面によってつくられる立体角はすべて等しい。また，隣接している二つの面でつくられる角もすべて等しい。
正六面体の各面の中心を頂点とすることにより正八面体が得られ，逆に同様にして正八面体から正六面体が得られるので，正六面体と正八面体は互いに双対的であるという。同様の意味で正十二面体と正二十面体は双対的であり，正四面体と正四面体は双対的である。
正多面体には，そのすべての頂点を通る一つの球(外接球)と，そのすべての面に接する一つの球(内接球)があり，これらの球の中心は一致する。この点を正多面体の中心という。
5種類の正多面体の存在はピタゴラスの発見といわれ，ユークリッド《ストイケイア》もそれを最終巻(第13巻)で詳しく扱っている。また，多種多様な多面体の中に，5種類しか正多面体が存在しないことに神秘性を感じたプラトンは，彼のイデア論において正多面体に大きな意義を与えた。このため正多面体は〈プラトン立体〉と呼ばれることもある。
（世界大百科事典）

【ここから精神の形が云々という与太をはじめようと思っていましたがまた後日】【そういえば「双対」って，論理学の教科書でも出てきたような】